Calculer l'intégrale définie suivante :
I 5 = ∫ − 6 − 2 dt 28 − 12 t − t 2 I_5 = int from -6 to -2 {dt over{sqrt {28 -12 t - t^2}}}
On écrit 28 − 12 t − t 2 28 -12 t - t^2 sous forme canonique : 28 − 12 t − t 2 = − ( t + 6 ) 2 + 64 28 -12 t - t^2 = - left ( t + 6 right )^2 + 64
On obtient :
I 5 = ∫ − 6 − 2 dt 28 − 12 t − t 2 = ∫ − 6 − 2 dt 64 − ( t + 6 ) 2 I_5 = int from -6 to -2 {dt over{sqrt {28 -12 t - t^2}}} = int from -6 to -2 {dt over{sqrt {64 - (t+6)^2}} }
On pose : t + 6 = 8 u t+6 = 8 u
On obtient : dt = 8 du dt = 8 du
Valeurs aux bornes : t t varie de − 6 -6 à − 2 -2 , donc u u varie de 0 0 à 1 2 1 over 2 .
Finalement, on obtient :
I 5 = ∫ − 6 − 2 dt 64 − ( t + 6 ) 2 = ∫ 0 1 2 8 du 8 1 − u 2 = ∫ 0 1 2 du 1 − u 2 = [ arcsin u ] 0 1 2 = π 6 I_5 = int from -6 to -2 {dt over{sqrt {64 - (t+6)^2}} } = int from 0 to {1 over 2} {{8 du} over{8 sqrt {1-u^2} }} = int from 0 to {1 over 2} {{du} over{ sqrt {1-u^2} }} =[arcsin u ]_0^{1 over 2} =%pi over 6