ANALYSE - Concours B des ENSA

La fonction $g\text{:}x\to \frac{1}{\sqrt{1-x}}$  est telle que $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty }$

Soit , $g$ est intégrable sur$\left[0\mathrm{;}X\right]$

On calcule $\phi (X)=\underset{0}{\overset{X}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\mathit{dx}$

On obtient :

$\phi (X)=\underset{0}{\overset{X}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\mathit{dx}={\left[-2\sqrt{1-x}\right]}_0^X=2\left(1-\sqrt{1-X}\right)$

Or

$\underset{X\to 1}{\lim }\phi (X)=\underset{X\to 1}{\lim }2\left(1-\sqrt{1-X}\right)=2$

Donc$I$ est convergente et

$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\mathit{dx}=2$

Soit$f(x)=\frac{4x^2+x}{x^2+1}$

On a :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{4x^2}{x^2}=4$

Donc pour

On en déduit :

$\underset{x_0}{\overset{X}{\int }}f(x)\mathit{dx}\ge \underset{x_0}{\overset{X}{\int }}3\mathit{dx}$

donc

$\underset{x_0}{\overset{X}{\int }}f(x)\mathit{dx}\ge 3X-3x_0$

et donc

$\underset{X\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x_0}{\overset{X}{\int }}f(x)\mathit{dx}=+\mathrm{\infty }$

L'intégrale $J$ est donc divergente.