Développements limités

Développements limités

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Question

Ecrire le développement limité à l'ordre  4 4 :

  1. de la fonction définie sur ℝ − { − 1 } setR-lbrace -1 rbrace par f ( x ) = 1 − x 3 1 + x f(x)= {1-x^3}over{1+x} au voisinage de x = 0 x = 0

  2. de la fonction définie sur ℝ − { 1 } setR-lbrace 1 rbrace par f ( x ) = sin x 1 − x f(x)= {sin x}over{1-x} au voisinage de x = 0 x = 0

  3. de la fonction définie sur ℝ + ∗ setR_{{}+{}}^{{}*{}} par f ( x ) = ln x x 2 f(x)= {ln x}over{x^2} au voisinage de x = 1 x=1

Indice

On trouve :

  1. 1 − x 3 1 + x = 1 − x + x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 + x 4 ε ( x ) avec lim x → 0 ε ( x ) = 0 {1-x^3}over{1+x} = 1-x+x^2-2 x^3 + 2 x^4 + x^4 %varepsilon (x) " avec " lim from x toward 0 %varepsilon (x) =0

  2. sin x 1 − x = x + x 2 + 5 6 x 3 + 5 6 x 4 + x 4 ε ( x ) avec lim x → 0 ε ( x ) = 0 {sin x}over{1-x} = x+x^2 + 5 over 6 x^3 + 5 over 6 x^4 + x^4 %varepsilon (x) " avec " lim from x toward 0 %varepsilon (x) =0

  3. ln x x 2 = ( x − 1 ) − 5 2 ( x − 1 ) 2 + 13 3 ( x − 1 ) 3 − 77 12 ( x − 1 ) 4 + ( x − 1 ) 4 ε ( x ) avec lim x → 1 ε ( x ) = 0 {ln x}over{x^2} = (x-1)- size 10{5 over 2}(x-1)^2 + size 10{13 over 3} (x-1)^3 - size 10{77 over 12} (x-1)^4 + (x-1)^4 %varepsilon (x) " avec " lim from x toward 1 %varepsilon (x) =0