Application réciproque

DéfinitionApplication réciproque

Une application f f de E E dans F F admet une application réciproque, notée f − 1 f^{-1} , si et seulement si f f est une bijection de E E dans F F ; elle vérifie alors :

y = f ( x ) ⇔ x = f − 1 ( y ) x ∈ E , y ∈ F y=f(x) `dlrarrow` x=f^{-1}(y) ~ x in E , ` y in F

Dans ce cas l'équation f ( x ) = y f(x)= y admet, pour tout y y de F F , une solution unique x x de E E .

FondamentalThéorème

Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I I admet une fonction réciproque.

Exemple

La fonction f : x → x 2 f nitalic : x toward x^2 est continue et strictement croissante sur ℝ + setR_{{}+{}} , elle définit une bijection de ℝ + setR_{{}+{}} sur ℝ + setR_{{}+{}} . L'application réciproque est la fonction :

f − 1 : { ℝ + → ℝ + x → x f^-1 nitalic : left lbrace matrix{ setR_{{}+{}} toward setR_{{}+{}} ##x toward sqrt x } right none