Continuité en un point, sur un intervalle. [ANALYSE

Continuité en un point, sur un intervalle.

Définition : fonction continue au point a

$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ ouvert contenant $a$ . On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si : $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ .

Autrement dit :

f continue en a \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists η > 0 / \forall x \in I, | x - a | \leq η \Rightarrow | f (x) - f (a) | \leq ε

Fondamental : Théorème

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ , alors $f + g$ , $kf$ et $fg$ sont continues en $a$ . De plus, si $g (a) \neq 0$ alors $\frac{f}{g}$ est continue en $a$ .

Définition :

Soient $I$ , $J$ deux intervalles de $ℝ$ , $f : I \to ℝ$ , $g : J \to ℝ$ telles que $f (I) \subset J$ . On note :

$\begin{matrix} g \circ f : & I \to ℝ \\ x \to g (f (x)) \end{matrix}$

Fondamental : Théorème

Soient $f$ une fonction continue en $a$ et $g$ une fonction continue en $y = f (a)$ , alors la fonction $h = g \circ f$ est continue en $a$ .

Définition : Continuité sur un intervalle

On dit que $f$ est continue sur l'intervalle $I =] a; b [$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $I$ .
On dit que $f$ est continue sur l'intervalle $J = [a; b]$ si et seulement si $f$ est continue sur $I =] a; b [$ , continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$ .

Remarque :

dire que $f$ est continue à droite en $a$ signifie que : $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$
Graphiquement, la continuité d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ correspond au fait que l'on peut tracer la représentation graphique de $f$ sur $I$ d'un trait de crayon continu.)

Contre exemple: Soit la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par : ${\begin{matrix} f (x) = 2 pour x < 1 \\ f (x) = 3 pour x \geq 1 \end{matrix}$

$f$ n'est pas continue sur $ℝ$ , car $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 2$ et $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 3$ , $f$ n'a donc pas de limite en 1, et donc $f$ n'est pas continue au point 1.