Applications 4

Exercice 1

  • Enoncé

Un tube de 8 mm de diamètre interne et 13 mm de diamètre externe est calorifugé par de la laine de verre de conductivité thermique égale à 0,04 W.m-1.K-1. Calculer le rayon critique permettant d'avoir un calorifuge efficace.

On donne h = 8 W.m-2.K-1

  • Solution

    Flux de chaleur échangé :

    Le calorifuge sera efficace pour rc =λ / h = 0,04 / 8 = 0,005 m

    Comme r0 = 6,5 mm, quelle que soit l'épaisseur du calorifuge choisi, celui-ci sera efficace.

Exercice 2

  • Enoncé

Une conduite de vapeur de diamètre extérieur égal à 80 mm est entourée d'une couche de ciment de conductivité thermique égale à 0,48 W.m-1.K-1. Calculer l'épaisseur minimale de ciment permettant de réduire les pertes. On donne h = 8 W.m-2.K-1.

  • Solution

Calcul du rayon critique :

rc =λ/ h = 0,48 / 8 = 0,06 m

Or r0 est égal à 0,04 m.

Dans ce cas, si on trace les variations de la résistance et du flux de chaleur en fonction du rayon, on obtient :

Ces figures indiquent qu'entre r0 et rc, le flux (c'est-à-dire les pertes thermiques) augmente, ce qui signifie que le calorifuge n'est pas efficace.

Il faudra passer r* pour que le calorifuge soit efficace, c'est-à-dire pour que les pertes Q soient inférieures à celle du tube non calorifugé Q0.

Q0 = Q => 1 h 2 π r 0 L = ln r * / r 0 2 π λ L + 1 h 2 π r * L 1 over {h 2 %pi r_0 L} = {ln {r"*"}"/"r_0} over {2 %pi %lambda L} + 1 over {h 2 %pi r^"*" L}

soit : λ h r 0 = ln r * r 0 + λ h r * %lambda over {h r_0} = {ln {r"*"} over r_0} + %lambda over {h r^"*"}

ou ln r * r 0 + r c r * = r c r 0 {ln {r"*"} over r_0} + r_c over {r"*"} = r_c over r_0

Dans le cas de l'énoncé, on a donc :

ln (r*/4) + 6/r* = 6/4 = 1,5 avec r* > rc

D'où r* = 9,6 cm.

soit e* = r* - r0 = 9,6 – 4 = 5,6 cm

Les pertes thermiques seront réduites par rapport au tube seul si l'épaisseur de calorifuge est supérieure à 5,6 cm.

Exercice 3

  • Enoncé

Un tube d'acier de 33 mm de diamètre interne et 42 mm de diamètre externe situé dans un milieu à 15 °C est parcouru par de la vapeur à 135 °C.

1.Calculer les pertes thermiques par mètre de tube nu.

2. On veut limiter les pertes à 30 W par mètre de tube avec un calorifuge de conductivité thermique λc = 0,05 W.m-1.K-1. Quelle est alors l'épaisseur de calorifuge à utiliser ?

3. Donner dans ce cas les températures de chaque interface.

Données

Conductivité thermique de l'acier : λa = 45 W.m-1.K-1

Coefficient d'échange vapeur - paroi : hi = 50 W.m-2.K-1

Coefficient d'échange calorifuge – milieu ambiant : he = 10 W.m-2.K-1

  • Solution

1.

Q = θ a 0 − θ a 1 1 h i A i + e λ A ml + 1 h e A e Q = {{%theta_a0} - {%theta_a1}} over {{1 over {h_i A_i}} + {e over {%lambda A_ml}} + {1 over {h_e A_e}}}

Q L = 135 − 15 1 50 π 33.10 − 3 + ln ( 42 / 33 ) 2 π 45 + 1 10 π 42.10 − 3 Q over L = {135 - 15} over {1 over {50 %pi 33.10^{-3}} + {ln (42"/"33) over {2 %pi 45}} + {1 over {10 %pi 42.10^{-3}}}}

Soit Q/L = 126,1 W/m

.

2. Q/L = 30 W/m

Q L = 135 − 15 1 50 π 33.10 − 3 + ln ( 42 / 33 ) 2 π 45 + ln ( ( e + 21 ) / 21 ) 2 π 0,05 + 1 10 . 2 π ( e + 21 ) .10 − 3 Q over L = {135 - 15} over {1 over {50 %pi 33.10^{-3}} + {ln (42"/"33) over {2 %pi 45}} + {ln ((e+21)"/"21) over {2 %pi 0,05}} + {1 over {10 . 2%pi (e+21).10^{-3}}}}

Soit e = 241 W.m-1.K-1

.

3.

Q L = θ 1 − θ a 1 1 h e π D e = θ 1 − θ a 1 1 10 .2 π 64.10 − 3 = 30 Q over L = {{%theta_1} - {%theta_a1}} over {{1 over {h_e %pi D_e}}} = {{%theta_1} - {%theta_a1}} over {{1 over {10 .2%pi 64.10^{-3}}}} = 30

Soit θ1 = 22,5 °C

Q L = θ acier / cal − θ 1 ln ( 64 / 21 ) 2 π 0,05 = 30 Q over L = {{%theta_{acier"/"cal}} - {%theta_1}} over {{{ln(64"/"21)} over {2 %pi 0,05}}} = 30

Soit θacier/cal = 129 °C

.