Etablissement des équations du flux de chaleur et de la température [Conduction dans les solides]

Etablissement des équations du flux de chaleur et de la température

Considérons une couche d'un matériau solide limitée par deux surfaces cylindriques coaxiales de rayons respectifs r₀ et r₁ et de longueur L supposée très grande par rapport à r₁ (ceci permet de supposer que la propagation de la chaleur ne s'effectue que dans le sens radial et qu'il n'y a pas d'effet d'extrémité).

Soient θ₀ et θ₁ les températures respectives des deux surfaces (on considèrera θ₀ > θ₁). Supposons que la conductivité thermique est indépendante de la température. Pour des raisons de symétrie, les surfaces isothermes sont des surfaces cylindriques coaxiales.

En coordonnées cylindriques, à symétrie axiale avec L>>R, la variable z n'intervient pas.

En régime permanent, le terme d'accumulation est nul.

Sans génération, le terme de génération n'apparaît pas.

L'équation (30) se simplifie en :

$\frac{d}{dr} (r \frac{d θ}{dr}) = 0$ ..........................................................................(équation 44)

La résolution de cette équation permet d'établir les équations du flux de chaleur et de la température :

$Q = 2 π λ L \frac{θ_{0} - θ_{1}}{\ln \frac{r_{1}}{r_{0}}}$ ........................................................(équation 45)

$\frac{(θ - θ_{0})}{(θ_{1} - θ_{0})} = \frac{\ln r - \ln r_{0}}{\ln r_{1} - \ln r_{0}}$ ...............................................................(équation 46)

Complément : Etablissement des équations (45) et (46)

En utilisant l'aire moyenne logarithmique $A_{ml} = \frac{A_{1} - A_{0}}{\ln \frac{A_{1}}{A_{0}}}$ , on peut écrire le flux sous la forme :

$Q = \frac{θ_{0} - θ_{1}}{\frac{e}{λ A_{ml}}}$ ......................................................................(équation 47)

Remarque :

Les termes des dénominateurs expriment la résistance thermique de la couche cylindrique.

Si les 2 parois échangent par convection avec des milieux fluides (h coefficient de convection, θ_a températures des fluides, A surface des parois), on a alors :

$Q = \frac{θ_{a 0} - θ_{a 1}}{\frac{1}{h_{0} A_{0}} + \frac{e}{λ A_{ml}} + \frac{1}{h_{1} A_{1}}}$ ............................................................(équation 48)

Cette formulation sera utile dans le cours de génie thermique pour calculer le coefficient d'échange global dans un échangeur.

Pour une couche cylindrique composite, le flux de chaleur s'écrit :

$Q = \frac{θ_{a 0} - θ_{an}}{\frac{1}{h_{0} A_{0}} + Σ \frac{e}{λ A_{mli}} + \frac{1}{h_{n} A_{n}}}$ .................................................(équation 49)

où A_i = 2 π r_iL et $A_{mli} = \frac{A_{i} - A_{i - 1}}{\ln \frac{A_{i}}{A_{i - 1}}}$ .