Cas simple du système cartésien monodirectionnel = cas du mur

Considérons un mur d'épaisseur e et d'aire A des faces, dont les températures de parois sont θ0 et θ1 (θ0 > θ1).

Les surfaces isothermes sont des plans parallèles aux faces et la chaleur se propage donc perpendiculairement à ces faces (direction des x).

L'équation λ ( δ 2 θ δ x 2 + δ 2 θ δ y 2 + δ 2 θ δ z 2 ) %lambda ({%delta^2%theta} over {%delta x^2} + {%delta^2%theta} over {%delta y^2} + {%delta^2%theta} over {%delta z^2}) = 0 se simplifie en :

δ 2 θ δ x 2 {%delta^2%theta} over {%delta x^2} = 0.................................................................(équation 34)

La solution est un profil linéaire de température :

θ = θ 0 + ( θ 1 − θ 0 ) x e {%theta} = {%theta_0} + ({%theta_1} - {%theta_0}) {x over e} ..........................................(équation 35)

Le flux à travers la surface A est donné par :

Q = λ A θ 0 − θ 1 e Q = {%lambda} A {{%theta_0} - {%theta_1}} over {e} ...................................................(équation 36)

Si les deux parois échangent par convection avec des milieux fluides (h coefficient de convection, θa températures des fluides, A surface des parois), le flux à la paroi est donné par la loi de Newton :

Q0 = h0 A (θa0 - θ0).....................................................(équation 37)

Le flux à travers la surface A est donné par :

Q = θ a 0 − θ a 1 1 h 0 A + e λ A + 1 h 1 A Q = {{%theta_a0} - {%theta_a1}} over {1 over {h_0 A} + e over {%lambda A} + 1 over {h_1 A}} .................................................(équation 38)

Application 1

  • Enoncé

Calculer le flux de chaleur à travers une plaque de 20 cm d'épaisseur et 12 m2 de surface dont les parois sont à 20 °C et -5 °C.

On donne λ = 0,93 W.m-1.K-1

  • Solution

Q = 0,93 . 12 . (20 + 5) / 0,2 = 1395 W

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ComplémentEtablissement de l'expression du flux à travers la surface A pour un mur simple

ComplémentEtablissement de l'expression du flux pour un mur simple avec convection