AG20
Question
On note \(\mathfrak{S}_n\) l'ensemble des permutations de l'ensemble constitué par les \(n\) premiers entiers non nuls \(\{1;2;3;\ldots;n\}\).
Démontrez que, muni de la loi \(\circ\), \(\mathfrak{S}_n\) est un groupe.
On note \(\sigma\) l'élément de \(\mathfrak{S}_8\) défini de la manière suivante :
\(\displaystyle \qquad \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\5 & 4 & 1 & 7 & 8 & 6 & 2 & 3\end{pmatrix}\).
l'image de chaque terme de la première ligne étant écrit juste en dessous.
Démontrez que la permutation \(\sigma\) est égale à la composée de deux cycles que l'on précisera.
On note \(\sigma^n\) la permutation \(\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{\sigma\circ \sigma\circ \cdots\circ \sigma}}\).
Déterminer \(\sigma^{12},\sigma^{24},\sigma^{4}$ et $\sigma^{2016}\).