AG11
Question
Soit un entier \(n\geqslant 1\). On considère la matrice carrée d'ordre \(n\) à coefficients réels :
\[\displaystyle
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\-1 & 2 & -1 & \ddots & \vdots \\0 & -1 & \ddots & \ddots & 0 \\\vdots & \ddots & \ddots & 2 & -1 \\0 & \cdots & 0 & -1 & 2\end{pmatrix}\]
Pour \(n\geqslant 1\), on désigne par \(D_{n}\) le déterminant de \(A\).
Démontrez que \(D_{n+2}=2D_{n+1}-D_{n}\).
Déterminez \(D_{n}\) en fonction de \(n\).
Justifiez que la matrice \(A\) est diagonalisable. Le réel \(0\) est-il valeur propre de \(A\) ?