AG13
Question
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur \(\mathbb{R}\). On note \({\cal L}(E)\) l'ensemble des endomorphismes de \(E\) et \({\cal M}_n(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices carrés \(n\times n\) à coefficients réels. On admet que \({\cal L}(E)\) muni des lois \(+\) et \(\circ\) est un anneau, et que \({\cal M}_n(\mathbb{R})\) muni des lois \(+\) et \(\times\) est un anneau.
Précisez l'élément neutre pour la loi \(\circ\) dans \({\cal L}(E)\) et l'élément neutre pour la loi \(\times\) dans \({\cal M}_n(\mathbb{R})\).
\((e_i)\) désignant une base de \(E\), on pose, pour tout \(u\) de \({\cal L}(E)\),\( \varphi(u)=\text{Mat}_{(e_i)}u\) (\(\text{Mat}_{(e_i)}u\) désignant la matrice de \(u\) dans la base \((e_i)\)).
Démontrez que \(\varphi\) est un isomorphisme d'anneau de \({\cal L}(E)\) dans \({\cal M}_n(\mathbb{R})\).
Démontrez que, pour tout \(u\in{\cal L}(E),~\text{Mat}_{(e_i)}(\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{u\circ u\circ \cdots\circ u}})=\left(\text{Mat}_{(e_i)}u\right)^n\).