AG19
Question
\(p\) désigne un entier naturel non nul.
On considère dans \(\mathbb Z\) la relation d'équivalence \(\cal R\) définie par : \(x\,{\cal R}\,y\stackrel{\hbox{\scriptsize déf.}}{\Longleftrightarrow}\exists k\in\mathbb Z\) tel que \(x-y=kp\).
On note \(\mathbb Z / p\mathbb Z\) l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation \({\cal R}\).
Quelle est la classe d'équivalence de 0 ? Quelle est celle de \(p\) ?
Donnez soigneusement la définition de l'addition usuelle et de la multiplication usuelle dans \(\mathbb Z / p\mathbb Z\).
On admet que muni de ces opérations, \(\mathbb Z / p\mathbb Z\) est un anneau.
Démontrez que \(\mathbb Z / p\mathbb Z\) est un corps si et seulement si \(p\) est premier.