AG08
Question
On note \(\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right)\) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre \(n\) à coefficients complexes.
Pour \(A=\left( a_{i,j}\right) _{\substack{ 1\leqslant i\leqslant n \\ 1\leqslant j\leqslant n}}\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right)\), on pose : \(\left\Vert A\right\Vert =\underset{_{\substack{ 1\leqslant i\leqslant n \\ 1\leqslant j\leqslant n}}}{\sup }\left\vert a_{i,j}\right\vert\).
Démontrez que \(\left\Vert AB\right\Vert \leqslant n\left\Vert A\right\Vert \left\Vert B\right\Vert\), puis que, pour tout entier \(p\geqslant 1\), \(\left\Vert A^{p}\right\Vert \leqslant n^{p-1}\left\Vert A\right\Vert ^{p}\).
Démontrez que, pour toute matrice \(A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{C}\right)\), la série \(\displaystyle\sum \dfrac{A^{p}}{p!}\) est absolument convergente.
Est-elle convergente ?