Banque d'exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP

On considère les polynômes de \(\mathbb C[X]\) suivants : \(P=2X^4-3X^2+1\) et \(Q=X^3+3X^2+3X+2\).

1. Décomposez en facteurs premiers de \(P\) dans \(\mathbb C[X]\) (on pourra calculer les valeurs de \(P\) en 1 et en -1).

2. Décomposez en facteurs premiers de \(Q\) dans \(\mathbb C[X]\) (on pourra calculer la valeur de \(Q\) en -2).

3. • Déduisez des questions 1. et 2. qu'il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) tels que \(PU+QV=1\).

   • Indiquez une méthode pour déterminer deux polynômes \(U\) et \(V\) en utilisant l'algorithme d'Euclide.