AG05
Question
Soit \(E\) l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans \(\mathbb{K}$ ($=\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)) de degré inférieur ou égal à \(n\) et \(f\) l'endomorphisme de \(E\) défini par : \(f\left( P\right)=P-P^{\prime }\).
Démontrez que \(f\) est bijectif de deux manières :
sans utiliser de matrice de \(f\),
en utilisant une matrice de \(f\).
Soit \(Q\in E\). Trouvez \(P\) tel que \(f\left( P\right) =Q\).
Indication : si \(P\in E\), quel est le polynôme \(P^{\left(n+1\right) }\) ?