Initiation à la thermodynamique moléculaire pour le génie des procédés

énergie libre de Helmholtz A:

• $-\frac{A}{T}=k_B\cdot \ln Z_N(N,V,T)$ conduit à

  $\begin{array}{c}{A}_{\mathit{id}}=-k_{B}T\left[N\cdot \ln (V)-\ln (N!)-N\cdot \ln ({\Lambda }^3)\right]\\ A_{\mathit{id}}=-N{k}_{B}T\left[\ln (\%{\Lambda }^3)-1\right]\mathit{ou}\%=\frac{N}{V}\end{array}$

  où nous avons utilisé l'approximation de Stirling ln(N!) = N ln(N) - N

énergie libre U ou E:

• ${\left(\frac{\partial \ln (Z_N)}{\partial \%}\right)}_{V,N}=-⟨E⟩$ conduit à

  $E_{\mathit{id}}=\frac{3}{2}N{k}_{B}T$

  car $\Lambda =\frac{h}{\sqrt{2\pi m{k}_{B}T}}$ dépend de la température et ${\left[\frac{\partial \ln ({\Lambda }^3)}{\partial \%}\right]}_{V,N}=\frac{3}{2\%}=\frac{3}{2}{k}_{B}T$

  C'est la loi de Joule : l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépends que de la température (pas de la densité/volume ou de la pression)

enthalpie H

• $H_{\mathit{id}}=E_{\mathit{id}}+\mathit{PV}=\frac{5}{2}N{k}_{B}T$

énergie libre de Gibbs G

• $G=A+\mathit{PV}=N{k}_{B}T\left[\ln (\%{\Lambda }^3)\right]$

entropie S

• $S_{\mathit{id}}=\frac{E_{\mathit{id}}-A_{\mathit{id}}}{T}=N{k}_B\left[\frac{3}{2}-\ln (\%{\Lambda }^3)\right]$

capacité calorifique volumique C_v

• $C_{v,\mathit{id}}={\left(\frac{\partial U_{\mathit{id}}}{\partial T}\right)}_{V,N}=\frac{3}{2}N{k}_B$

Potentiel chimique $\mu$

• ${\mu }_{\mathit{id}}=k_{B}T\left[\ln (\%{\Lambda }^3)\right]$