Développement d'une fonction périodique en série de Fourier

Soit \(f(x)\) une fonction périodique de période fondamentale L, on peut alors développer, sous certaines conditions (cf. théorème de Dirichlet), cette fonction en série d'exponentielles imaginaires ou de fonctions trigonométriques.

FondamentalSérie d'exponentielles imaginaires

\(f(x) =\sum_{n=-∞}^{+∞} c_n e^{ik_n x}\) avec \(k_n =n \frac{2\pi}{L}\) et les coefficients \(c_n\) de la série de Fourier sont données par l'expression :

\(c_n = \frac{1}{L}  \int_{x_0}^{x_0+L} f(x) e^{-ik_n x}  dx~~~~\) où \(x_0\) est un réel quelconque.

Si \(f\) est une fonction à valeur réelle, les coefficients \(c_{-n}\) et \(c_n\) sont alors conjugués et on aura \(c_{-n} = \bar{c_n}\)

FondamentalSérie de fonctions trigonométriques

Si dans la série définie ci-dessus on regroupe les termes correspondants à des valeurs opposées de n, on obtient :

\(f(x) = c_0 + \sum_{n=1}^{+∞} (c_n e^{ik_n x}+c_{-n}e^{-ik_n x})\)

Si on pose:

  • \(a_0 = c_0\)

  • pour \(n > 0 ~~a_n = c_n + c_{-n}\)

  • pour \(n > 0 ~~b_n = i(c_n - c_{-n})\)

On a alors :

\[\boxed{ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+∞} (a_n \cos{k_n x}+b_{n}\sin{k_n x}) ~~~~\text{avec}~~~~ k_n = n\frac{2\pi}{L}} \]

Les formules donnant les coefficients \(a_n\) et \(b_n\) s'en déduisent :

\[\boxed{ \begin{matrix} a_0 = \frac{1}{L} \int_{x_0}^{x_0+L} f(x) ~dx \\\\ a_n = \frac{2}{L} \int_{x_0}^{x_0+L} f(x) \cos{k_n x}~ dx \\ \\ b_n = \frac{2}{L} \int_{x_0}^{x_0+L} f(x) \sin{k_n x}~ dx \\ \\ \text{avec,}~~ k_n = n \frac{2\pi}{L} \\ \\ \text{et ~~où}~~ x_0~~ \text{est un réel quelconque.} \\ \end{matrix} }\]

Si \(f(x)\) est paire, les \(b_n\) sont nuls, si \(f(x)\) est impaire \(a_0\) et les \(a_n\) sont nuls.

Si \(f\) est une fonction à valeurs réelles, alors on aura \(a_n\) et \(b_n\) réels.

FondamentalThéorème de Dirichlet

Soit \(f(x)\) une fonction périodique, \(f\) vérifie les conditions de Dirichlet si elle est continue par morceaux et admet un dérivée continue par morceaux telle que en tout point la dérivée admette une limite à gauche et à droite. Alors la série de Fourier converge et l'on a :

\[\boxed{ \begin{matrix} \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} = a_0 + \sum_{n=1}^{+∞} (a_n \cos k_nx +b_n \sin k_n x) \\\\ f(x^+) = \underset{{t>x ;t \to x} } \lim f(t) \text{~~~et~~~} f(x^-) = \underset{{t<x ;t \to x} } \lim f(t) \\ \end{matrix} }\]

Si \(f\) est continue en\( x\) on aura donc :

\(f(x) a_0 + \sum_{n=1}^{+∞} (a_n \cos k_nx +b_n \sin k_n x)\)

FondamentalEgalité de Bessel Parseval

Soit \(f(x)\) une fonction périodique de période fondamentale L. Alors on démontre que :

\[\boxed{ \int_{n=1}^{+∞} |f(u)|^2 du = L \sum_{-+∞}^{+∞} |c_n|^2 }\]