Transformée de Fourier

Définition

La transformée de Fourier \(\widehat f(k)\) d'une fonction \(f(x)\) est définie par :

\[\boxed{ \forall k \in \mathbb R ~~~~~~~\widehat f(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R}^{} f(x) e^{-ikx} dx}\]

Propriétés

RappelParité

  • Si f est paire, \(\widehat f(k)\) est paire

  • Si f est impaire, \(\widehat f(k)\) est impaire

  • Si f est réelle paire, \(\widehat f(k)\) est réelle paire

  • Si f est réelle impaire, \(\widehat f(k)\) est imaginaire pure et impaire

RappelConjugaison

  • \(\forall k \in \mathbb R ~~~~~~ (\widehat {\bar f} )(k) = \overline{( \widehat f)}(-k)\)

  • Donc si \(f\) est à valeurs réelles : \(\forall k \in \mathbb R ~~~~~~ \widehat { f} (-k) = \overline{( \widehat f)}(k)\)

DéfinitionTransformée de Fourier inverse

Comme on a défini la transformée de Fourier directe, on peut définir la transformée de Fourier inverse par :

\[\boxed{ \forall x \in \mathbb R ~~~~~~~\tilde f(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R}^{} \widehat f(k) e^{ikx} dk }\]

Et l'on a, pour les points \(x \in \mathbb R\) où \(f\) est 'assez' régulière : \(f(x)=\tilde f(x)\)

FondamentalFormule de Parseval-Plancherel

Sans rentrer ici dans les espaces de fonctions, les normes et notions de convergence, il vous

faut retenir que la transformation de Fourier conserve la norme, c'est-à-dire que l'on a :

\[\boxed{ \begin{matrix} ||f||=||\widehat f|| \\\\ \text{avec:} ~~~ ||f||^2 = \int_{-∞}^{+∞} |f(u)|^2 du = \int_{-∞}^{+∞} \overline {f(u)} f(u) du \\ \text{et:} ~~~ ||\widehat f||^2 = \int_{-∞}^{+∞} |\widehat f(k)|^2 dk = \int_{-∞}^{+∞} \overline {\widehat f(k)} \widehat f(k) dk \\ \end{matrix} }\]