AN45
Question
Démontrez que la fonction \(x\mapsto \text{e}^{-x^2}\) est intégrable sur \([0;+\infty[\).
Pour chaque nombre \(r>0\), on note \(C_r\) le carré \([0;r]\times [0;r]\) et \(D_r\) l'ensemble défini par : \(x^2+y^2\leqslant r^2,~x\geqslant 0,~y\geqslant 0\).
Quelle relation y a-t-il entre \(\displaystyle\iint_{C_r}\text{e}^{-(x^2+y^2)}\text{d}x\text{d}y\) et \(\displaystyle\int_0^r\text{e}^{-t^2}\text{d}t\) ?
Calculez en fonction de \(r\) l'intégrale double \(\displaystyle\iint_{D_r}\text{e}^{-(x^2+y^2)}\text{d}x\text{d}y\).
Déduisez de ce qui précède la valeur de l'intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\text{e}^{-x^2}\text{d}x\).
Indication : on pourra remarquer que \(D_r\subset C_r\subset D_{2r}\).