AN42
Question
On pose, pour tout \(x\) de \(]0;+\infty[\) et pour tout \(t\) de \(]0;+\infty[\) :
\[\displaystyle
f(t,x)=\text{e}^{-t}t^{x-1}\ .\]
Démontrez que la fonction t\(\mapsto f(t,x)\) est intégrable sur \(]0;+\infty[\).
On pose, pour \(x\in]0;+\infty[,\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\text{e}^{-t}t^{x-1}\text{d}t\).
Démontrez que, pour tout \(x\) de \(]0;+\infty[\), \(\Gamma(x+1)=x\, \Gamma(x)\).
Démontrez que \(\Gamma\) est de classe \(C^1\) et exprimez \(\Gamma~\!'(x)\) sous forme d'intégrale