AN23

Question

On considère la série de fonctions de terme général \(u_{n}\) définie par:

\[\displaystyle \forall n\in \mathbb{N}^{*}\ \forall x\in \lbrack 0,1]\ \ u_{n}\left(x\right) =\ln \left( 1+\frac{x}{n}\right) -\frac{x}{n}~.\]

On pose, lorsque la série converge, \(S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\left[ \ \ln \left( 1+\frac{x}{n}\right) -\frac{x}{n}\right]\).

  1. Démontrez que \(S\) est dérivable sur \([0,1]\).

  2. Calculez \(S'(1)\).

    Indication : pensez à décomposer une fraction rationnelle en éléments simples.