AN21
Question
Soit \(\left( f_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) une suite de fonctions continues sur \([a,b]\), à valeurs réelles. Démontrez que si la suite \(\left( f_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) converge uniformément vers \(f\), alors la suite \(\left( \displaystyle\int_{a}^{b}f_{n}\left( x\right)\text{d}x\right)_{n\in \mathbb{N}}\) converge vers \(\displaystyle\int_{a}^{b}f\left(x\right) \text{d}x\).
Justifiez comment ce résultat peut être utilisé dans le cas des séries de fonctions puis démontrez que :
\[\displaystyle
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}\right) \text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n2^{n}}~.\]