Etude des séries à terme positifs [ANALYSE

Etude des séries à terme positifs

Dans toute la suite $(\sum a_{n})$ désignera une série où la suite $(a_{n})$ est à termes réels positifs (sauf, peut-être les $p$ premiers termes, $p$ étant un entier naturel fixé, car la nature d'une série - convergente ou divergente - n'est pas modifiée si l'on supprime les $p$ premiers termes).

Séries de référence

Définition : (Séries de Riemann)

Toute série de la forme $(\sum \frac{1}{n^{α}})$ est appelée série de Riemann.

Fondamental : Propriété

$\sum \frac{1}{n^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$

Définition : (Séries géométriques à termes positifs)

On appelle série géométrique à termes positifs toute série de la forme $(\sum a^{n})$ où $a$ est un réel positif.

Fondamental : Propriété

Soit $(\sum a^{n})$ une série géométrique à termes positifs. $(\sum a^{n})$ converge si et seulement si $a < 1$ . Auquel cas :

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} a^{n} = \frac{1}{1 - a}$

Critères de comparaison des séries à termes positifs

Fondamental : Théorème

$(\sum a_{n})$ converge si et seulement si la suite des sommes partielles $(S_{n})$ est majorée.

En effet, la suite $(S_{n})$ des sommes partielles est croissante. Si cette suite est majorée, alors elle converge.

Fondamental : Théorème (critère de majoration ou minoration)

Soient $(\sum a_{n})$ et $(\sum b_{n})$ deux séries à termes positifs.

On suppose que : à partir d'un certain rang $a_{n} \leq b_{n}$ . Alors :

Si la série $(\sum b_{n})$ converge alors la série $(\sum a_{n})$ converge.
Si la série $(\sum a_{n})$ diverge alors la série $(\sum b_{n})$ diverge.

Fondamental : Théorème (critère d'équivalence)

Soient deux séries à termes positifs. Si $(b_{n})$ est équivalent à $(a_{n})$ au voisinage de $+ \infty$ alors $(\sum a_{n})$ et $(\sum b_{n})$ sont de même nature.

Règle de Riemann

Comment procéder de manière pratique pour comparer une série à termes positifs avec une série de Riemann ?

Soit $(\sum a_{n})$ une série à termes positifs.

On commence par chercher un équivalent de $a_{n}$ au voisinage de $+ \infty$ le plus simple possible, qu'on appelle $b_{n}$ . Deux cas sont possibles :

Premier cas : Si $b_{n}$ est de la forme $\frac{c}{n^{α}}$ alors $(\sum a_{n})$ et $(\sum \frac{c}{n^{α}})$ sont de même nature.
Deuxième cas : $b_{n}$ n'est pas de la forme $\frac{c}{n^{α}}$ , on utilise alors la règle suivante.

Fondamental : Propriété (règle de Riemann)

On calcule $n^{α} a_{n}$ .

si $\exists α > 1$ tel que $n^{α} a_{n} \to 0$ quand $n \to + \infty$ (où $n^{α} a_{n}$ est majorée) alors $(\sum a_{n})$ converge.
si $\exists α \leq 1$ tel que $n^{α} a_{n} \to + \infty$ quand $n \to + \infty$ (où $n^{α} a_{n}$ est minorée par un réel strictement positif) alors $(\sum a_{n})$ diverge.

Remarque : Cette règle ne permet pas de conclure dans toutes les situations.

Règle de d'Alembert

Fondamental : Propriété

Soit $(a_{n})$ une série à valeurs positives.

On suppose que $\exists n_{0} \in ℕ, \forall n \geq n_{0} a_{n} \neq 0$ .

On suppose de plus que $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ converge vers une limite $l$ finie ou non.

Si $l < 1$ alors $(\sum a_{n})$ converge
Si $l > 1$ alors $(\sum a_{n})$ diverge
Si $l = 1$ alors on ne peut pas conclure. Ce cas est appelé cas douteux de la règle de d'Alembert.