Définitions et généralités [ANALYSE

Définitions et généralités

Soient $(a_{n})$ une suite à valeurs dans $ℝ$ . A $(a_{n})$ on peut associer une suite

$S_{n} = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k}$

Définition :

On appelle série de terme général $a_{n}$ , que l'on note $\sum (a_{n})$ , la suite $(S_{n})$ de nombres réels définie par :

$S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k}$

$a_{n}$ est appelé terme général de la série $(\sum a_{n})$

$S_{n}$ est appelée somme partielle des $n$ premiers ou nième somme partielle de la série $(\sum a_{n})$

${(S_{n})}_{n \in ℕ}$ est appelée suite des sommes partielles de la série $(\sum a_{n})$

Définition :

Soit $(\sum a_{n})$ une série à termes réels. On dit que la série $(\sum a_{n})$ converge lorsque la suite des sommes partielles $(S_{n})$ de la série converge.

En cas de convergence, $\lim_{n \to + \infty} S_{n}$ est notée $\sum_{k = 0}^{+ \infty} a_{k}$ et est appelée somme de la série.

Un série qui ne converge pas est dite divergente.

Définition :

Si une série converge vers $ℝ$ , on appelle suite des restes la suite $(R_{n})$ définie pour tout $n$ entier naturel par $R_{n} = S - S_{n}$

On a donc :

$R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} a_{k} et \lim_{n \to + \infty} R_{n} = 0$

Exemple

Exemple :

Soit la série de terme général $\frac{1}{n (n + 1)}$ , $n \in ℕ^{*}$

On a :

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n (n + 1)} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} - \sum_{k = 2}^{n + 1} \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$

$\lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} [1 - \frac{1}{n + 1}] = 1$

donc la série de terme général $\frac{1}{n (n + 1)}$ converge et :

$\sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n (n + 1)} = 1$

Exemple

Exemple :

Soit la série de terme général $\frac{3}{2^{n}}$

La suite $(a_{n})$ définie par $a_{n} = \frac{3}{2^{n}}$ est une suite géométrique de premier terme $3$ et de raison $\frac{1}{2^{n}}$ .

On a :

$S_{n} = 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \dots + \frac{3}{2^{n}} = 3 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} = 6 (1 - {(\frac{1}{2})}^{n + 1})$

$\lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} 6 (1 - {(\frac{1}{2})}^{n + 1}) = 6$

donc la série de terme général $\frac{3}{2^{n}}$ converge et :

$\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{3}{2^{n}} = 6$

Note : on dit que la série $(\sum \frac{1}{2^{n}})$ est une série géométrique.