Critère de CAUCHY et applications [ANALYSE

Critère de CAUCHY et applications

Définition : (Série de Cauchy)

Soit $(\sum a_{n})$ une série à termes réels. On dit que $(\sum a_{n})$ est de Cauchy lorsque :

$\forall ε > 0, \exists N_{ε} \in ℕ, \forall (n, p) \in ℕ^{2}, n \geq p \geq N_{ε} \Rightarrow | \sum_{k = p}^{n} a_{k} | \leq ε$

Fondamental : Propriété

$(\sum a_{n})$ converge si et seulement si $(\sum a_{n})$ est de Cauchy. Cela tient au fait que $ℝ$ est un espace complet. (Toute suite de Cauchy est convergente)

Conséquence fondamentale $(\sum a_{n})$ converge implique : la suite $(a_{n})$ converge vers $0$ .

Attention :

Ce résultat n'est pas une équivalence. Il traduit juste une condition nécessaire de convergence d'une série.

Exemple :

La série de terme général $u_{n} = \frac{1}{n}$ appelée série harmonique est divergente. Pourtant la suite $(u_{n})$ converge vers 0.