Croissance comparée de e^x, x^α et ln x [ANALYSE

Croissance comparée de e^x, x^α et ln x

Fondamental : Théorème

$α$ est un réel strictement positif, les fonctions $x \to e^{x}$ , $x \to x^{α}$ et $x \to \ln x$ ont pour limite $+ \infty$ en $+ \infty$ , et on a :

\lim_{x \to + \infty} \ln \frac{x}{x^{α}} = 0; \lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{α}} = + \infty

De plus

\lim_{x \to 0 (x > 0)} x^{α} \ln x = 0; \lim_{x \to - \infty} x^{α} e^{x} = 0

On dit, par abus, que, lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ , les puissances positives d'un réel positif "l'emportent" sur la fonction ln, et que la fonction exponentielle "l'emporte" sur toute puissance positive d'un réel positif.

Exemple :

Calculer : 1) $\lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{2} + 2}$ ; 2) $\lim_{x \to + \infty} x^{2} + 2 - e^{x}$ ; 3) $\lim_{x \to + \infty} x^{2} + 2 - \ln x$

On écrit : $\frac{e^{x}}{x^{2} + 2} = \frac{e^{x}}{x^{2}} \times \frac{x^{2}}{x^{2} + 2}$
Or $\lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}} = + \infty$ et $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} + 2} = 1$
donc $\lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}} = + \infty$
$x^{2} + 2 - e^{x} = x^{2} (1 + \frac{2}{x^{2}} - \frac{e^{x}}{x^{2}})$
on a : $\lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{2}{x^{2}} - \frac{e^{x}}{x^{2}}) = \lim_{x \to + \infty} (- \frac{e^{x}}{x^{2}}) = - \infty$ et $\lim_{x \to + \infty} x^{2} = + \infty$
donc $\lim_{x \to + \infty} x^{2} + 2 - e^{x} = - \infty$
$x^{2} + 2 - \ln x = x^{2} (1 + \frac{2}{x^{2}} - \frac{\ln x}{x^{2}})$
on a : $\lim_{x \to + \infty} \frac{2}{x^{2}} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x^{2}} = 0$
donc $\lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{2}{x^{2}} - \frac{\ln x}{x^{2}}) = 1$
enfin