ANALYSE - Concours B des ENSA

$\alpha$ est un réel fixé.

La fonction $f\mathrm{:}x\to x^{\alpha }$ est définie et dérivable sur $\left]0\mathrm{;}+\mathrm{\infty }\right[$. Sa fonction dérivée est définie par :

$f\text{'}(x)=\alpha x^{\alpha -1}$

En effet : on a : $f(x)=e^{\alpha \ln x}$. $f$ est une fonction composée, de la forme $e^{u(x)}$, dérivable sur son domaine de définition $\left]0\mathrm{;}+\mathrm{\infty }\right[$.

Donc : $f\text{'}(x)=\frac{\alpha }{x}{e}^{\alpha \ln x}$

Ce qui s'écrit :

$f\text{'}(x)=\frac{\alpha }{x}{x}^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}$

Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. La fonction $f\mathrm{:}x\to {[u(x)]}^{\alpha }$ est dérivable sur $I$ et :

$f\text{'}(x)=\alpha u\text{'}(x){[u(x)]}^{\alpha -1}$