Fonction exponentielle de base a [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Fonction exponentielle de base a

Définition :

$a$ est un réel strictement positif et différent de 1, on appelle fonction exponentielle de base $a$ , la fonction g définie sur $ℝ$ par :

$g : x \to a^{x}$

En utilisant les théorèmes sur les limites et sur la dérivée d'une fonction composée, on obtient, immédiatement :

Fondamental : Propriété

La fonction $g : x \to a^{x}$ est dérivable sur $ℝ$ et $g' (x) = (\ln a) e^{x \ln a} = (\ln a) a^{x}$
Si $a > 0$ , $\lim_{x \to + \infty} a^{x} = + \infty$ et $\lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0$
Si $0 < a < 1$ , $\lim_{x \to - \infty} a^{x} = + \infty$ et $\lim_{x \to + \infty} a^{x} = 0$