Fonctions puissances [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Fonctions puissances

Définitions et propriétés

Définition :

Pour tout $a$ réel strictement positif, et tout réel $r$ on pose :

$a^{r} = e^{r \ln a}$

Remarque :

Cette définition est cohérente avec la définition usuelle des puissances entières. En effet, $a$ étant un réel strictement positif, on peut écrire, par exemple :

$a^{3} = {(e^{\ln a})}^{3} = e^{3 \ln a}$

Elle donne un sens à des écritures telles que $5^{\sqrt{2}}$ ou encore $2^{- π}$ .

Attention, cependant, lorsque $r$ est réel, l'écriture $a^{r}$ n'est possible que si $a > 0$

Les propriétés de la fonction exponentielle permettent d'écrire :

Fondamental : Propriété

Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, et pour tous réels $x$ et $y$ :

$a^{x + y} = a^{x} \times a^{y}; a^{x - y} = \frac{a^{x}}{a^{y}}; a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}; {(a^{x})}^{y} = a^{x y}; a^{x} \times b^{x} = {(a b)}^{x}; {(\frac{a}{b})}^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}}$

Exemple :

Résoudre dans $ℝ$ : $2^{x + 1} = 3^{x}$

Pour tout $x$ réel, on a : $2^{x + 1} = 3^{x} \Leftrightarrow 2^{x} \times 2 = 3^{x}$

Soit $\frac{3^{x}}{2^{x}} = 2$ , ce que l'on peut écrire : ${(\frac{3}{2})}^{x} = 2$

On obtient : $e^{x \ln \frac{3}{2}} = 2$ , finalement : $x = \frac{\ln 2}{\ln \frac{3}{2}}$

Cas particulier des racines n-ièmes

Soit $a$ un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul, on a :

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

En effet, on a : ${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$ , donc $\ln {(\sqrt[n]{a})}^{n} = \ln a$

Or $\ln {(\sqrt[n]{a})}^{n} = n \ln \sqrt[n]{a}$ , donc : $\ln \sqrt[n]{a} = \frac{1}{n} \ln a$

Enfin, $e^{\ln \sqrt[n]{a}} = e^{\frac{1}{n} \ln a}$ , ce qui s'écrit : $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Exemple :

Calculer ${(\sqrt[3]{54})}^{6}$

${(\sqrt[3]{54})}^{6} = {(\sqrt[3]{2 \times 3^{3}})}^{6} = {(2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{3}{3}})}^{6} = 2^{\frac{6}{3}} \times 3^{6} = 2^{2} \times 3^{6} = 4 \times 729 = 2916$