Dérivée, variations et signe

La fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, c'est une bijection de ] 0 ; + ∞ [ left ] 0 nitalic ; +infinity right [ sur ] − ∞ ; + ∞ [ left ] -infinity nitalic ; +infinity right [ . (Dans un repère orthonormal, les représentations graphiques des fonctions logarithme népérien et exponentielle sont donc symétriques par rapport à la droite d'équation : y = x y = x .)

La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ left ] 0 nitalic ; +infinity right [ .

La fonction f f définie par f ( x ) = e ln x f(x) = e^{ln x} est donc dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ left ] 0 nitalic ; +infinity right [ .

Pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ x in left ] 0 nitalic ; +infinity right [ , on peut écrire :

f ' ( x ) = ln ' ( x ) e ln x f'(x) = ln'(x)e^{ln x}

(ln' désigne la fonction dérivée de la fonction ln)

Or f ( x ) = x f(x) = x et donc f ' ( x ) = 1 f'(x) = 1 .

Il vient : ln ' ( x ) e ln x = 1 ln'(x)e^{ln x} = 1 et donc x ln ' ( x ) = 1 x ln'(x) = 1

Enfin : ln ' ( x ) = 1 x ln'(x)= 1 over x

FondamentalThéorème

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ left ] 0 nitalic ; +infinity right [ et :

ln ' ( x ) = 1 x ln'(x)= 1 over x

Or x ∈ ] 0 ; + ∞ [ x in left ] 0 nitalic ; +infinity right [ , donc ln ' ( x ) > 0 ln'(x) > 0 .

La fonction ln est donc une bijection strictement croissante de ] 0 ; + ∞ [ left ] 0 nitalic ; +infinity right [ sur ℝ setR , on en déduit le théorème :

FondamentalThéorème

La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [ left ] 0 nitalic ; +infinity right [ .

Pour tous réels a a et b b strictement positifs :

a = b ⇔ ln a = ln b et a < b ⇔ ln a < ln b a = b dlrarrow ln a = ln b " et " a < b dlrarrow ln a < ln b

En particulier on en déduit :

  • x > 1 ⇔ ln x > 0 x > 1 dlrarrow ln x > 0

  • 0 < x < 1 ⇔ ln x < 0 0 < x < 1 dlrarrow ln x < 0