Présentation [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Présentation

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante de $] - \infty; + \infty [$ dans $] 0; + \infty [$ . On en déduit que, quel que soit le réel strictement positif $λ$ , l'équation $e^{x} = λ$ admet une solution unique dans $ℝ$ .

Autrement dit : la fonction exponentielle est une bijection de $] - \infty; + \infty [$ sur $] 0; + \infty [$ .

Définition :

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, c'est une bijection de $] 0; + \infty [$ sur $] - \infty; + \infty [$ . On note :

${\begin{matrix} y = \ln x \\ x \in] 0; + \infty [ \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = e^{y} \\ y \in] - \infty; + \infty [ \end{matrix}$

Conséquences immédiates :

L'écriture : $y = \ln x$ n'est possible que si $x > 0$ .
On a : $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ et $\ln \frac{1}{e} = - 1$
Pour tout $x$ réel, $\ln e^{x} = x$
Pour tout $x > 0$ , $e^{\ln x} = x$