Suites et séries

Suites et séries

Question

Etudier dans chaque cas la convergence des suites ( u n ) (u_n) et des séries suivantes définies par leur terme général :

  1. n + 1 − n sqrt {n+1} - sqrt n

  2. 2 + ( − 1 ) n n nroot n {2+(-1)^n}

  3. 1 n 3 ∑ 1 n k 2 1 over n^3 sum from 1 to n k^2

Solution

  1. En multipliant par l'expression conjuguée au numérateur et au dénominateur, on obtient :

    n + 1 − n = 1 n + 1 + n sqrt {n+1} - sqrt n = 1 over {sqrt {n+1} + sqrt n}

    donc la suite converge vers 0 0 .

    Mais si nous calculons les sommes partielles, par télescopage (les termes s'éliminent deux à deux, il ne reste que le premier et le dernier) on obtient :

    ∑ 0 N ( n + 1 − n ) = N sum from 0 to N (sqrt {n+1} - sqrt n) = sqrt N

    ce qui implique la divergence de la série.

  2. Si n n est pair, 2 + ( − 1 ) n n = 3 n nroot n {2+(-1)^n} = nroot n 3 et si n n est impair : 2 + ( − 1 ) n n = 1 n = 1 nroot n {2+(-1)^n} = nroot n 1 = 1

    Les suites extraites respectivement d'indices pair et impair, convergent vers la même limite :  1 1 qui n'est pas nulle. On déduit donc que la suite converge vers 1 1 et la série diverge.

  3. Il est utile de connaître ∑ 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 sum from 1 to n k^2 ={ n (n+1)(2 n + 1)} over 6 , le terme général de la suite s'écrit donc :

    1 n 3 ∑ 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 n 3 1 over n^3 sum from 1 to n k^2 ={ n (n+1)(2 n + 1)} over {6 n^3 }

    et converge vers 0,5 0,5 . La série ne peut donc converger.