ANALYSE - Concours B des ENSA

On a :$I_{n+1}-I_n=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{x}^n(x-1)\cos 2x\mathit{dx}$.

on sait que , et donc $x\ge 0$, $\cos 2x\ge 0$ et .

Par conséquent : , et donc .

On en déduit que , la suite $(I_n)$est donc décroissante.

$\forall x\in \left[0;\frac{\pi }{4}\right]$, d'où :

On en déduit

et donc

A partir du résultat précédent, on peut écrire :

et donc :

On a donc d'où $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n=0$

Calcul de $I_0$ et de $I_1$

$I_0=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos 2x\mathit{dx}={\left[\frac{1}{2}\sin 2x\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{2}$

$I_1=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}x\cos 2x\mathit{dx}={\left[\frac{x}{2}\sin 2x\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\sin 2x\mathit{dx}=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}$

Pour obtenir$I_{n+2}$en fonction de $I_n$ il faut effectuer deux intégrations par parties successives :

$I_{n+2}=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{x}^{n+2}\cos 2x\mathit{dx}={\left[\frac{x^{n+2}}{2}\sin 2x\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}-\frac{n+2}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{x}^{n+1}\sin 2x\mathit{dx}$

et

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{x}^{n+1}\sin 2x\mathit{dx}={\left[-\frac{x^{n+1}}{2}\cos 2x\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}+\frac{n+1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{x}^n\cos 2x\mathit{dx}$

On obtient finalement :

$I_{n+2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{n+2}-\frac{(n+1)(n+2)}{4}{I}_n$