Séries numériques

Séries numériques

Soit b b un réel positif, considérons les séries suivantes : ( ∑ b n ) left ( sum b^n right ) et ( ∑ n b n ) left ( sum n b^n right )

Question

  1. A quelle condition (sur b b ) ces séries sont-elles convergentes ?

  2. En supposant que b b satisfait la condition précédente, calculer  ∑ 0 + ∞ b n sum from 0 to + infinity b^n et ∑ 0 + ∞ n b n sum from 0 to + infinity n b^n .

Solution

  1. ( ∑ b n ) left ( sum b^n right ) est une série géométrique qui converge si et seulement si b < 1 b< 1 (voir cours).

    La règle d'Alembert pour les séries numériques permet de conclure que ( ∑ n b n ) left ( sum n b^n right ) converge si et seulement si b < 1 b< 1 .

  2. Supposons donc b < 1 b< 1

    • pour la première série :

      ∑ k = 0 + ∞ b n = 1 1 − b sum from k=0 to + infinity b^n = 1 over {1-b}

    • pour la deuxième série, calculons S n = ∑ 0 n k b k S_n = sum from 0 to n k b^k sous la forme :

      S n = ( b + b 2 + ⋯ + b n ) + ( b 2 + 2 b 3 + ⋯ + ( n − 1 ) b n ) S_n = (b + b^2 + dotsaxis + b^n) + (b^2+ 2 b^3 + dotsaxis + (n-1)b^n)

      On obtient :

      S n = ( b + b 2 + ⋯ + b n ) + b ( b + 2 b 2 + ⋯ + ( n − 1 ) b n − 1 ) S_n = (b + b^2 + dotsaxis + b^n) + b (b + 2 b^2 + dotsaxis + (n-1) b^{n-1})

      Soit :

      S n = ∑ 0 n b k + b S n − 1 S_n = sum from 0 to n {b^k} + b S_{n-1}

      Donc :

      S n = 1 − b n 1 − b + b S n − 1 S_n = {1- b^n}over {1-b} + b S_{n-1}

      On passe alors à la limite, on obtient :

      ∑ k = 0 + ∞ k b n = lim n → + ∞ S n = 1 ( 1 − b ) 2 sum from k=0 to + infinity k b^n = lim from {n toward + infinity} S_n = 1 over (1-b)^2