ANALYSE - Concours B des ENSA

Pour tout $t$de l'intervalle d'intégration :

Or $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathit{dt}$converge donc par majoration, l'intégrale$I_n$converge.

La suite de terme général$I_n$ est décroissante en effet :

$\forall t\in [0,1],t^n\ge t^{n+1}$

donc

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{t^n}{\sqrt{1-t^2}}\mathit{dt}\ge \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{t^{n+1}}{\sqrt{1-t^2}}\mathit{dt}$

Il suffit de démontrer la relation $n{I}_n{I}_{n-1}=\frac{\pi }{2}$ par récurrence.

• Pour $n=1$, on a :

  $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathit{dt}={[\arcsin t]}_0^1=\frac{\pi }{2}$

  et

  $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\mathit{dt}={[-\sqrt{1-t^2}]}_0^1=1$

  Ainsi :

  $1I_1{I}_0=\frac{\pi }{2}$

• Supposons la relation vraie au rang $n$, soit : $n{I}_n{I}_{n-1}=\frac{\pi }{2}$

  Effectuons une intégration par parties sur $I_{n+1}$ :

  $I_{n+1}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{t^{n}t}{\sqrt{1-t^2}}\mathit{dt}=[-\sqrt{1-t^2}{t}^n]+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-t^2}n{t}^{n-1}\mathit{dt}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{(1-t^2)n{t}^{n-1}}{\sqrt{1-t^2}}\mathit{dt}$

  D'où, en séparant cette intégrale en deux parties :

  $I_{n+1}=n{I}_{n-1}-n{I}_{n+1}$

  soit

  $(n+1)I_{n+1}=n{I}_{n-1}$

  en multipliant par $I_n$, on obtient :

  $(n+1)I_{n+1}{I}_n=n{I}_{n-1}{I}_n=\frac{\pi }{2}$

La suite $(I_n)$ est décroissante, minorée par $0$ donc convergente.

En passant à la limite dans l'expression : $I_{n-1}{I}_n=\frac{\pi }{2n}$, on déduit que la limite est $0$.