Séries

Séries

Question

Etudier la nature des séries numériques suivantes et, si elles convergent, calculer leur somme.

  1. ( ∑ sin 1 n ( n + 1 ) cos 1 n cos 1 n + 1 ) left ( sum {{ sin size 8{1 over {n (n+1)}}} over {cos size 8 {1 over n} cos size 8{1 over {n+1}}}} right )

  2. ( ∑ n + 1 3 n ) left ( sum {{n+1}over {3^n}} right )

  3. ( ∑ 2 n − 1 n 3 − 4 n ) left ( sum {{2 n-1}over {n^3 - 4 n }} right )

Indice

Ce trois séries sont convergentes.

  1. Il faut se rendre compte que : sin 1 n ( n + 1 ) = sin ( 1 n − 1 n + 1 ) sin {{1}over{n(n+1)}} = sin (1 over n - 1 over {n+1}) , puis utiliser un télescopage, la somme de la série est tan 1 tan 1

  2. Utiliser l'exercice précédent sur les séries numériques, la somme de la série est 9 4 9 over 4 .

  3. Il suffit de décomposer en éléments simples la fraction :

    2 n − 1 n 3 − 4 n = 1 8 ( 3 n − 1 + 2 n − 5 n + 2 ) {2 n-1}over {n^3 - 4 n } = 1 over 8 (3 over {n-1} + 2 over n - 5 over {n+2})

    la somme de la série est 89 96 89 over 96