Suites extraites

Suites extraites

Soit ( u n ) (u_n) la suite réelle définie par : u n = n + 1 n + cos ( 2 n π 3 ) u_n = { n+1 over n} + cos left ( {2 n %pi }over 3 right )

Question

  1. Montrer que cette suite est positive.

  2. Montrer que cette suite admet trois sous suites extraites convergentes. Préciser leurs limites.

  3. La suite ( u n ) (u_n) est-elle convergente ?

  4. La série de terme général   u n u_n est-elle convergente ?

Indice

La première question est évidente. Pour répondre aux questions suivantes, on prend respectivement : n = 3 k n = 3 k , n = 3 k + 1 n = 3 k + 1 et n = 3 k + 2 n = 3 k + 2