Exercice : Suites et séries [ANALYSE

Suites et séries

Soient $(v_{n})$ et $(v_{n})$ les suites réelles définies par :

$u_{0} > 0, v_{0} > 0, et \forall n \in ℕ : {\begin{matrix} u_{n + 1} = \frac{1}{3} (2 u_{n} + v_{n}) \\ v_{n + 1} = \frac{1}{3} (2 v_{n} + u_{n}) \end{matrix}$

On pose :

$\forall n \in ℕ, a_{n} = u_{n} - v_{n} et b_{n} = v_{n} + u_{n}$

Question

Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ , $u_{0}$ , $v_{0}$ .
Exprimer $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n$ , $u_{0}$ , $v_{0}$ .
Déterminer les limites des suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$
Déterminer $\sum_{k = 0}^{n} u_{k}$ . La série de terme général $a_{n}$ est-elle convergente ?

Indice

La suite $(a_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$ donc converge vers $0$ .

La suite $(b_{n})$ est suite constante.

Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent vers la même limite : $\frac{u_{0} + v_{0}}{2}$ .