Exercice : Suites [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Suites

Soit $(u_{n})$ la suite réelle définie par : $u_{0} = 2$ et pour tout entier $n$ : $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{2}{u_{n}})$

Question

On définit la suite $(v_{n})$ par : $v_{n} = \frac{u_{n} - \sqrt{2}}{u_{n} + \sqrt{2}}$
Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
En déduire la limite des suites $(v_{n})$ et $(u_{n})$ .

Indice

En exprimant $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ , on trouve : $v_{n + 1} = {(v_{n})}^{2}$ , la limite de la suite $(v_{n})$ est $0$ , celle de la suite $(u_{n})$ est $\sqrt{2}$ .