Equation différentielle linéaire à coefficients non constants

Méthode

On considère ici les équations du type

A ( x ) y ' + B ( x ) y = f ( x ) A(x) y' + B(x) y = f(x)

où A A , B B et f f sont des fonctions de la variable réelle x x . La procédure d'intégration est semblable à celle suivie pour résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients constants et se déroule donc en 3 étapes :

Résolution de l'équation homogène (sans second membre) :

A ( x ) y 1 ' + B ( x ) y 1 = 0 A(x) y_1' + B(x) y_1 = 0

On résout l'équation différentielle à variables séparables :

dy 1 y 1 = − B ( x ) A ( x ) dx dy_1 over y_1 = -{{B(x)} over {A(x)}} dx

on obtient alors une solution du type

y 1 = C e u ( x ) y_1 = C e^{u(x)}

où u ( x ) = ∫ B ( x ) A ( x ) u(x)= int {{B(x)} over {A(x)}} et C C est une constante réelle.

Variation de la constante

On considère donc maintenant C C comme une fonction de x x (et non plus comme une variable constante) et on cherche à déterminer C ( x ) C(x) telle que :

y ( x ) = C ( x ) e u ( x ) y(x) = C(x) e^{u(x)}

soit solution de l'équation différentielle avec le second membre.

Solution générale de l'équation complète

On remplace C C par la famille de primitives obtenue précédemment dans l'expression :

y ( x ) = C ( x ) e u ( x ) y(x) = C(x) e^{u(x)}

Exemple

Exemple

Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle :

y ' − 2 x ( 1 + x 2 ) y = 1 y' - {2 x} over {(1+x^2)} y = 1

Ici A ( x ) = 1 A(x) = 1 , B ( x ) = 2 x ( 1 + x 2 ) B(x) = {2 x} over {(1+x^2)} et f ( x ) = 1 f(x) = 1

Résolution de l'équation homogène

On cherche dans un premier temps la fonction y 1 ( x ) y_1(x) telle que :

y ' − 2 x ( 1 + x 2 ) y = 0 y' - {2 x} over {(1+x^2)} y = 0

soit

dy 1 dx − 2 x ( 1 + x 2 ) y 1 = 0 dy_1 over dx - {2 x} over {(1+x^2)} y_1 = 0

Cette équation peut s'écrire :

dy 1 y 1 = 2 x ( 1 + x 2 ) dx dy_1 over y_1 = {2 x} over {(1+x^2)} dx

On peut effectuer une intégration à variables séparées. D'où :

ln | y 1 | = ln ( 1 + x 2 ) + K ln abs y_1 = ln (1+x^2) +K

K K , constante réelle, peut s'écrire K = ln ( C ) K = ln (C) où C C est une constante réelle, d'où

ln | y 1 | = ln ( 1 + x 2 ) + ln ( C ) ln abs y_1 = ln (1+x^2) +ln(C)

Or ln ( a ) + ln ( b ) = ln ( ab ) ln (a) + ln(b) = ln (ab) d'où :

ln | y 1 | = ln ( C ( 1 + x 2 ) ) ln abs y_1 = ln (C(1+x^2))

y 1 ( x ) = C ( 1 + x 2 ) y_1(x) = C(1+x^2) est solution de l'équation sans second membre

Variable de la constante

On écrit : y ( x ) = C ( x ) ( 1 + x 2 ) y(x) = C(x)(1+x^2)

y ' y' s'écrit alors : y ' = ( 1 + x 2 ) C ' ( x ) + 2 x C ( x ) y' = (1+x^2)C'(x) + 2 x C(x)

L'équation à résoudre devient :

( 1 + x 2 ) C ' ( x ) + 2 x C ( x ) − 2 x ( 1 + x 2 ) C ( x ) ( 1 + x 2 ) = 1 (1+x^2)C'(x) + 2 x C(x) - { {2 x} over (1+x^2)}C(x)(1+x^2) =1

d'où

C ' ( x ) = 1 ( 1 + x 2 ) C'(x) =1 over (1+x^2)

soit

C ( x ) = arctan ( x ) + K C(x) =arctan (x) + K

où K K est une constante réelle.

Solution générale

La solution générale de l'équation s'écrit :

y = ( arctan ( x ) + K ) ( 1 + x 2 ) y=(arctan (x) + K)(1+x^2)

où K K est une constante réelle.

Exemple

Exemple

Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle :

xy ' − y = x x 2 − 1 xy'-y=x over {x^2-1}

Ici A ( x ) = x A(x) = x , B ( x ) = − 1 B(x) = -1 et f ( x ) = x x 2 − 1 f(x) = x over { x^2 -1 }

Résolution de l'équation homogène

On cherche dans un premier temps la fonction y 1 ( x ) y_1(x) telle que :

x y 1 ' − y 1 = 0 x y_1'-y_1=0

soit

x dy 1 dx − y 1 = 0 x dy_1 over dx -y_1=0

Cette équation peut s'écrire :

dy 1 y 1 = dx x dy_1 over y_1 = dx over x

On peut effectuer une intégration à variables séparées. D'où :

ln | y 1 | = ln | x | + K ln abs y_1 = ln abs x + K

K K , constante réelle, peut s'écrire K = ln ( C ) K = ln (C) où C C est une constante réelle, d'où

ln | y 1 | = ln | x | + ln ( C ) ln abs y_1 = ln abs x + ln(C)

or ln ( a ) + ln ( b ) = ln ( ab ) ln (a) + ln(b) = ln (ab) d'où :

ln | y 1 | = ln ( x C ) ln abs y_1 = ln (x C)

y 1 ( x ) = x . C y_1(x) = x . C est solution de l'équation sans second membre

Variation de la constante

On cherche une solution particulière de la forme y ( x ) = x C ( x ) y(x) = x C(x) .

y ' y' s'écrit alors : y ' = x C ' ( x ) + C ( x ) y' = x C'(x) + C(x)

L'équation à résoudre devient :

x [ x C ' ( x ) + C ( x ) ] − xC ( x ) = x x 2 − 1 x[x C'(x) + C(x)] - xC(x) = x over {x^2 - 1}

d'où

C ' ( x ) = 1 x ( x 2 − 1 ) C'(x) = 1 over {x(x^2 - 1)}

soit

C ( x ) = ∫ dx x ( x 2 − 1 ) C(x) = int {dx over {x(x^2 - 1)}}

Cette intégrale se calcule en décomposant la fraction rationnelle 1 x ( x 2 − 1 ) 1 over {x(x^2 - 1)} en éléments simples, soit :

1 x ( x 2 − 1 ) = − 1 x + 1 2 ( x − 1 ) + 1 2 ( x + 1 ) 1 over {x(x^2 - 1)} = - {1 over x } + 1 over {2(x-1)} + 1 over {2(x+1)}

on obtient alors :

C ( x ) = ∫ ( − 1 x ) dx + ∫ dx 2 ( x − 1 ) + ∫ dx 2 ( x + 1 ) C(x) = int left ( - {1 over x} right )dx + int {dx over {2(x-1)}} + int {dx over {2(x+1)} }

soit :

C ( x ) = − ln | x | + 1 2 ln | x − 1 | + 1 2 ln | x + 1 | + K C(x) = -ln abs x + {1 over 2}ln abs {x-1} + {1 over 2}ln abs {x+1} + K

où K K est une constante réelle. Cette fonction peut s'écrire :

C ( x ) = − ln | x | + 1 2 ln | x 2 − 1 | + K C(x) = -ln abs x + {1 over 2}ln abs {x^2-1} + K

Solution générale

La solution générale de l'équation s'écrit :

y = x [ − ln | x | + 1 2 ln | x 2 − 1 | + K ] y =x left [ -ln abs x + {1 over 2}ln abs {x^2-1} + K right ]

où K K est une constante réelle