Equation différentielle linéaire à coefficients constants [ANALYSE

Introduction

On cherche les solutions aux équations du type :

$a_{1} \frac{dy}{dx} (x) + a_{0} y (x) = b (x)$

où $a_{0}$ et $a_{1}$ sont des constantes réelles et $a_{1} \neq 0$

Nous débuterons par l'étude des équations homogènes (i.e. avec un second membre nul). Puis en utilisant les résultats, nous verrons comment résoudre les équations avec second membre.

Equation homogène

Soit l'équation à résoudre :

$a_{1} \frac{dy}{dx} (x) + a_{0} y (x) = 0$

où $a_{0}$ et $a_{1}$ sont des constantes réelles et $a_{1} \neq 0$ .

Supposons que $y (x) \neq 0$ , $\forall x$ alors, nous pouvons écrire :

$\frac{y' (x)}{y (x)} + \frac{a_{0}}{a_{1}} = 0 \Leftrightarrow \frac{y' (x)}{y (x)} = - \frac{a_{0}}{a_{1}}$

Intégrons par rapport à $x$ . La primitive du membre de gauche est : $\ln | y (x) | + A$ , donc nous obtenons :

$\ln | y (x) | = - \frac{a_{0}}{a_{1}} x + B$

où $B$ est une constante réelle qui tient compte des constantes d'intégration des deux membres.

Prenons l'exponentielle de la relation précédente, on obtient :

$| y (x) | = e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x + B}$

Or $e^{α + β} = e^{α} e^{β}$ , d'où :

$| y (x) | = e^{B} e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x}$

$e^{B}$ est une constante réelle positive. Soit $K$ cette constante. On a alors :

$y (x) = \pm K e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x}$

L'expression $\pm K$ représente une constante positive ou négative, notons $C$ cette constante réelle.

On a alors :

$y (x) = C e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x}$

Nous obtenons donc une famille de fonctions. La constante $C$ pourra être calculée pour répondre à un cas précis à partir, par exemple, d'une condition particulière du type : $y (x_{1}) = D$ .

Exemple

Résoudre l'équation

$y' (x) + y (x) = 0$

en prenant la condition $y (0) = 1$
en prenant la condition $y (2) = \frac{3}{2}$

Solution

Partons de l'équation différentielle :

$y' (x) + y (x) = 0$

en supposant que $y (x) \neq 0$ , $\forall x$ , nous pouvons diviser cette équation par $y (x)$ , soit :

$\frac{y' (x)}{y (x)} + 1 = 0$

soit :

$\frac{y' (x)}{y (x)} = - 1$

soit :

$| y (x) | = e^{- x + A}$

soit :

$y (x) = C e^{- x}$

La constante $C$ dépend de la condition initiale :

pour $y (0) = 1$ , on obtient $C = 1$ , soit $y (x) = e^{- x}$
pour $y (2) = \frac{3}{2}$ , on obtient $C = \frac{3}{2} e^{2}$ , soit $y (x) = \frac{3}{2} e^{2 - x}$

Equation avec second membre

L'équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec second membre s'écrit :

$a_{1} \frac{dy}{dx} (x) + a_{0} y (x) = b (x)$

où $a_{0}$ et $a_{1}$ sont des constantes réelles et $a_{1} \neq 0$ .

Propriété

(Méthode de variation de la constante) La méthode de résolution se décompose en trois points :

on résout l'équation homogène, la solution générale est de la forme :
$y (x) = C e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x}$ , $a_{1} \neq 0$ , $C \in ℝ$
On considère que la constante $C$ dépend de $x$ (d'où le nom de la méthode : méthode de la variation de la constante), on pose :
$y (x) = C (x) e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x}$
on dérive, on reporte dans l'équation avec second membre et on résout l'équation différentielle d'inconnue $C$ .
la solution générale de l'équation complète est obtenue en remplaçant $C$ par la famille de primitives trouvée au point précédent.

Application

Appliquons cette méthode sur le cas général. Calculons la dérivée de : $y (x) = C (x) e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x}$ .

On obtient :

$y' (x) = C' (x) e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x} - \frac{a_{0}}{a_{1}} C (x) e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x}$

En injectant cette expression dans l'équation différentielle à résoudre, nous obtenons :

$a_{1} (C' (x) e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x} - \frac{a_{0}}{a_{1}} C (x) e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x}) + a_{0} (C (x) e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x}) = b (x)$

soit :

$a_{1} C' (x) e^{- \frac{a_{0}}{a_{1}} x} = b (x)$

soit :

$C' (x) = \frac{b (x)}{a_{1}} e^{\frac{a_{0}}{a_{1}} x}$

En intégrant, on obtient :

$C (x) = \int \frac{b (t)}{a_{1}} e^{\frac{a_{0}}{a_{1}} t} dt + D$

Si on peut calculer explicitement cette intégrale, on en déduit la forme générale de la solution :

$y (x) = (\int \frac{b (t)}{a_{1}} e^{\frac{a_{0}}{a_{1}} t} dt + D) e^{\frac{a_{0}}{a_{1}} x}$

La valeur de $D$ est obtenue à partir d'une condition aux limites.

Exemple

Exemple :

$y' (x) + y (x) = 1$

avec la condition initiale $y (0) = 2$

L'équation homogène associée est :

$y' (x) + y (x) = 0$

Sa solution a été déterminée dans l'exercice précédent, nous avons donc :

$y (x) = B e^{- x}$

Supposons à présent que $B$ dépend de la variable $x$ . On a alors : $y (x) = B (x) e^{- x}$ .

$y' (x) = B' (x) e^{- x} - B (x) e^{- x}$

En injectant ces expressions dans l'équation différentielle, nous obtenons :

$B' (x) e^{- x} - B (x) e^{- x} + B (x) e^{- x} = 1$

Soit :

$B' (x) e^{- x} = 1 \Rightarrow B' (x) = e^{x}$

Une primitive particulière de $e^{x}$ peut s'écrire :

$\int e^{t} dt = e^{x}$

d'où

$B (x) = e^{x} + C$

L'expression générale de la solution de l'équation différentielle est donc :

$y (x) = [e^{x} + C] e^{- x} = 1 + C e^{- x}$

La constante $C$ peut être calculée à partir de la condition initiale $y (0) = 2$ . On obtient alors :

$y (0) = 1 + C e^{0} = 1 + C$

d'où $C = 1$ . La solution est donc :

$y (x) = 1 + e^{- x}$