Equation à variables séparables

Une équation différentielle est dite à variables séparables si on peut l'écrire sous la forme :

φ ( x ) dx = ψ ( y ) dy %varphi(x)dx= %psi(y)dy

On intègre alors chacun des côtés en considérant les variables indépendantes :

∫ φ ( x ) dx = ∫ ψ ( y ) dy + C int %varphi(x)dx= int %psi(y)dy + C

où C C est une constante réelle.

Exercice classique

Exemple

Résoudre l'équation

2 y + y ' = 0 2y + y' = 0

avec y ' = dy dx y' = dy over dx

Cette équation peut s'écrire sous la forme :

dy dx = − 2 y dy over dx = -2 y

On peut séparer les variables en écrivant l'équation sous la forme :

dy y = − 2 dx dy over y = -2 dx

puis intégrer :

∫ dy y = − ∫ 2 dx int {dy over y} = - int 2 dx

soit

ln | y | = − 2 x + B ln abs {y} = -2 x + B

Prenons l'exponentielle de la relation précédente, on obtient :

| y ( x ) | = e − 2 x + B abs {y(x)} = e^{-2 x + B}

Or e α + β = e α e β e^{%alpha + %beta} = e^{%alpha} e^{%beta} , d'où :

| y ( x ) | = e B e − 2 x abs {y(x)} = e^{B}e^{-2 x}

e B e^B est une constante réelle positive. Soit K K cette constante. On a alors :

y ( x ) = ± K e − 2 x y(x) = +-K e^{-2 x}

L'expression ± K +-K représente une constante positive ou négative, notons C C cette constante réelle.

d'où la solution :

y ( x ) = C e − 2 x y(x) = C e^{-2 x}

où C C est une constante réelle.