Développement limité au voisinage de l'infini [ANALYSE

Développement limité au voisinage de l'infini

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I =] a; + \infty [$ admet un ${DL}_{n} (+ \infty)$ au voisinage de $+ \infty$ , si la fonction $h : u \to h (u) = f (\frac{1}{u})$ admet un ${DL}_{n} (0)$ à droite.

$h (u) = a_{1} + a_{2} u + \dots + a_{n} u^{n} + u^{n} ε (u)$ ; ce qui donne $f (x) = a_{1} + \frac{a_{2}}{x} + \dots + \frac{a_{n}}{x^{n}} + \frac{1}{x^{n}} ε (\frac{1}{x})$ .

On définit de même le développement limité d'ordre $n$ au voisinage de $- \infty$ .

Exemple :

Déterminer le développement limité d'ordre $2$ en $+ \infty$ de $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

On pose $u = \frac{1}{x}$ , soit $x = \frac{1}{u}$

on obtient $g (u) = \sqrt{\frac{1}{1 - u}} = {(1 - u)}^{- \frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} u + \frac{3}{8} u^{2} + u^{2} ε (u)$

Finalement

$f (x) = 1 + \frac{1}{2 x} + \frac{3}{8 x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} ε (\frac{1}{x})$