Calcul de limites et résolution de "formes indéterminées"

Au voisinage de a a , le premier terme non nul du développement limité de f f fournit un équivalent de f ( x ) f(x) , ce qui peut permettre de trouver la limite de f ( x ) f(x) lorsque x x tend vers a a , ou de résoudre certaines "indéterminations".

Exemple

Déterminer la limite, lorsque x x tend vers 0 0 de la fonction définie sur ] − π 2 ; 0 [ ∪ ] 0 ; π 2 [ left ] - {%pi over 2} nitalic ; 0 right [ union left ] 0 nitalic ; %pi over 2 right [ par :

f ( x ) = sin 2 x − x 2 cos x x 2 ( 1 − cos x ) f(x)={sin^2 x - x^2 cos x }over{x^2 (1 - cos x)}

On calcule les DL 4 ( 0 ) DL_4(0) du numérateur et du dénominateur :

sin 2 x − x 2 cos x = 1 6 x 4 + x 4 ε 1 ( x ) sin^2 x - x^2 cos x = 1 over 6 x^4 + x^4 %varepsilon_1(x)

x 2 ( 1 − cos x ) = 1 2 x 4 + x 4 ε 2 ( x ) x^2(1- cos x) = 1 over 2 x^4 + x^4 %varepsilon_2(x)

Il suit lim x → 0 f ( x ) = 1 3 lim from {x toward 0} f(x) = 1 over 3 .

Exemple

Déterminer la limite, lorsque x x tend vers 0 0 de la fonction f ( x ) = ( 1 + sin x ) 1 x f(x)=(1+sin x)^{1 over x}

On a :

f ( x ) = ( 1 + sin x ) 1 x = e ln ( 1 + sin x ) x = e 1 x ln ( 1 + x + x ε 1 ( x ) ) = e 1 x ( x + x ε 2 ( x ) ) f(x)= (1+sin x)^{1 over x}= e^{{ln (1+sin x)}over{x}} = e^{1 over x ln (1+x+x %varepsilon_1(x))} = e^{1 over x (x+x %varepsilon_2(x))}

donc

lim x → 0 f ( x ) = e lim from {x toward 0} f(x) = e