AN58
Question
On note \(\mathbb{R}[X]\) l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour tout polynôme \(P=\displaystyle\sum_{i=0}^na_i X^i\), \(n\) désignant le degré de \(P\), on pose :
\[\displaystyle
p_1(P)=\sum_{i=0}^n |a_i|\text{\hspace*{1cm}et\hspace*{1cm}}p_2(P)=\max_{0\leq i\leq n}|a_i|\ .
\]
Démontrez succinctement que \(p_1\) et \(p_2\) sont des normes sur \(\mathbb{R}[X]\).
Démontrez que tout ouvert pour la norme \(p_2\) est un ouvert pour la norme \(p_1\).
Démontrez que les normes \(p_1\) et \(p_2\) ne sont pas équivalentes.
On note \(\mathbb{R}_k[X]\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[X]\) constitué par les polynômes de degré inférieur ou égal à \(k\). On note \(p'_1\) la restriction de \(p_1\) à \(\mathbb{R}_k[X]\) et \(p'_2\) la restriction de \(p_2\) à \(\mathbb{R}_k[X]\).
Les normes \(p'_1\) et \(p'_2\) sont-elles équivalentes ?