AN57
Question
On note \(E\) l'espace vectoriel des applications continues de \([0;1]\) dans \(\mathbb{R}\). On pose, pour tout \(f\) de \(E\) :
\[\displaystyle
p_{\infty}(f)=\sup\limits_{x\in[0;1]} |f(x)|\text{\hspace*{1cm}et\hspace*{1cm}}p_1(f)=\int_0^1|f(x)| \text{d}x\ .\]
Démontrez succinctement que \(p_{\infty}\) et \(p_1\) sont deux normes sur \(E\).
Démontrez qu'il existe \(k>0\) tel que, pour tout \(f\) de \(E\), \(p_1(f)\leq k p_{\infty}(f)\).
Démontrez que tout ouvert pour la norme \(p_1\) est un ouvert pour la norme \(p_{\infty}\).
Démontrez que les normes \(p_1\) et \(p_{\infty}\) ne sont pas équivalentes.