AN54
Question
\(E\) et \(F\) désignent deux espaces vectoriels normés.
\(A\) est un sous-ensemble compact de \(E\), et \(f\) une fonction de \(E\) dans \(F\).
Démontrez que si \(f\) est continue sur \(A\), alors \(f(A)\) est un sous-ensemble compact de \(F\).
On suppose que \(g\) est une fonction continue de \(E\) dans \(\mathbb C\).
Démontrez que si \(A\) est un sous-ensemble, non vide, compact de \(E\), alors :
\(g(A)\) est une partie bornée de \(\mathbb C\) ;
\(\exists\, x_0\in A\) tel que \(\displaystyle\sup_{x\in A}\big|g(x)\big|=\big|g(x_0)\big|\).