AN48
Question
Toute fonction \(f\) de \(\mathbb{C}\) dans \(\mathbb{C}\) peut être écrite, pour tout \(z=x+iy\in\mathbb{C}\), sous la forme \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\), \(u\) et \(v\) désignant deux fonctions de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}\).
On se propose de trouver, s'il en existe, des fonctions \(f\) satisfaisant aux conditions suivantes :
\(~~~\textbf{C1.}\) Les fonctions \(u\) et \(v\) sont de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}^2\).
\(~~~\textbf{C2.}\) Pour tout \((x,y)\) de \(\mathbb{R}^2\), \(\dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\dfrac{\partial v}{\partial y}(x,y)\) et \(\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,y)=-\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,y)\).
Démontrez que, si \(u\) et \(v\) existent, alors, pour tout \((x,y)\) de \(\mathbb{R}^2\) :
\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,y)+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}(x,y)=0\text{\hspace*{1cm}et\hspace*{1cm}} \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}(x,y)+\dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2}(x,y)=0\ .\)
On suppose que \(u(x,y)=x^3-3xy^2+2x^2-2y^2+3x\).
Trouvez les fonctions \(v\) telles que les conditions \(\textbf{C1}\) et\( \textbf{C2}\) soient satisfaites.
Démontrez qu'il existe une fonction \(f=u+iv\) unique telle que \(f(0)=0\) et explicitez \(f(z)\) en fonction de \(z\).
Pour cette fonction \(f\), construisez dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, le point \(A\) d'affixe \(f(i)\).