AG42
Question
\(E\) désigne un espace euclidien. On note \(x|y\) le produit scalaire de \(x\) et de \(y\).
Démontrez que si \(f\) est une forme linéaire sur \(E\), il existe un unique élément \(a\) de \(E\) tel que, pour tout \(x\) de \(E\), \(f(x)=x|a\).
\(x_0\) est un élément non nul de \(E\), tel que \(\Vert x_0\Vert=1\). On note [\(x_0]\) la droite vectorielle engendrée par \(x_0\) et \([x_0]^{\perp}\) l'orthogonal de \([x_0]\).
Donnez la définition de la projection orthogonale \(p\) sur \([x_0]\).
Si \(p(x)=\lambda x_0\), on pose \(g(x)=\lambda\). Démontrez que \(g\) est une forme linéaire sur \(E\) et indiquez l'élément \(b\) de \(E\) tel que, pour tout \(x\) de \(E\), \(p(x)=x|b\).