AG41
Question
Soit \(E\) un espace préhilbertien et \(F\) un sous-espace vectoriel de dimension finie \(n>0\).
On admet que pour tout \(x\in E\), il existe un élément unique \(y_0\) de \(F\) tel que \(x-y_0\) soit orthogonal à \(F\) et que la distance de \(x\) à \(F\) soit égale à \(\left\Vert x-y_0\right\Vert\).
Si \(A=\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}$ et $A'=\begin{pmatrix}a^{\prime } & b^{\prime } \\c^{\prime } & d^{\prime }\end{pmatrix}\), alors on pose \(\left\langle A\ |\ A'\right\rangle=aa^{\prime}+bb^{\prime}+cc^{\prime}+dd^{\prime}\).
Démontrez que \(\left\langle \cdot\ |\ \cdot\right\rangle\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)\).
Calculez la distance de la matrice \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\-1 & 2\end{array}\right)\) au sous-espace vectoriel \(F\) des matrices triangulaires supérieures.